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In questo articolo: Comprensione del problemaInvenzione di una dimostrazioneRiduzione di una dimostrazione14 Riferimenti
Talvolta è difficile da dimostrare. Per raggiungere questo obiettivo, è necessario implementare sia la sua conoscenza della matematica sia il know-how della stesura di questa dimostrazione.Sfortunatamente, non esiste un modo magico per avere successo senza sforzo e la prima volta. Devi avere una solida base in questo materiale per alimentare il tuo ragionamento con i teoremi e le definizioni corretti. Esercitati, leggi le dimostrazioni, questo è il modo migliore per riuscire a scriverlo da solo brillantemente.
stadi
Parte 1 Comprensione del problema
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Identifica la domanda. Il tuo primo compito è determinare cosa dovrai dimostrare esattamente. Questa domanda servirà anche come conclusione della dimostrazione. Prenditi del tempo allo stesso tempo per identificare le ipotesi con cui lavorerai. Questo è il punto di partenza per comprendere il problema e la sua risoluzione. -
Crea diagrammi. In matematica, quando vuoi capire i dettagli di un esercizio, è spesso utile fare un diagramma riassuntivo. Questo è ancora più vero in geometria, dove puoi visualizzare direttamente ciò che stai cercando di dimostrare.- Usa la dichiarazione per creare il tuo diagramma. Elencare dati noti e incognite.
- Nota come e quando tutte le informazioni che possono venire a supporto della dimostrazione.
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Studio. Imparare a scrivere una prova matematica non è ovvio. Per aiutarti, leggi e analizza i teoremi relativi a quello su cui stai lavorando per capire come sono costruiti.- Dì a te stesso che una dimostrazione in realtà non è altro che un buon argomento le cui affermazioni sono giustificate in ogni fase. Troverai molti esempi nei tuoi libri di testo e su Internet che possono fungere da modelli.
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Poni domande. Se hai domande, non esitare a chiedere al tuo insegnante o ai tuoi compagni di classe. Potrebbero anche chiedersi alcuni dei ragionamenti, puoi lavorare insieme. È meglio chiedere aiuto piuttosto che essere soli e armeggiare alla cieca sperando di ottenere un risultato.- Vai a parlare con il tuo insegnante dopo le lezioni per metterti sulla strada giusta.
Parte 2 Inventa una demo
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Comprendi cos'è una dimostrazione. È una serie di asserzioni logicamente ordinate supportate da definizioni e teoremi per dimostrare la verità di un'altra affermazione. Questo è l'unico modo per sapere se un ragionamento è solo matematicamente.- Essere in grado di scrivere dimostrazioni innegabilmente testimonia la tua comprensione approfondita del problema e dei concetti che usi per risolverlo.
- Questo esercizio ti consente anche di percepire la matematica sotto una luce molto interessante. Anche nei casi in cui non sarai in grado di completare con successo le tue dimostrazioni, provare ti aiuterà a migliorare le tue conoscenze e la comprensione del tuo corso.
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Considera il tuo pubblico. Non devi dimenticare per quale tipo di lettore stai lavorando e che livello di comprensione è. Una dimostrazione destinata alla pubblicazione in una rivista scientifica e il ragionamento in un corso di matematica al liceo non sono scritti allo stesso modo.- Devi scrivere assicurandoti che il tuo lettore possa tenere traccia dei tuoi progressi con le conoscenze che già possiede.
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Identifica il tipo di dimostrazione. Esistono diversi modelli di dimostrazioni, ne sceglierai uno in base alle istruzioni fornite a te e al lettore a cui è destinato l'esercizio. Se non sei sicuro di fare la scelta giusta, chiedi aiuto al tuo insegnante. Al liceo, non ci si aspetta sempre che tu scriva una dimostrazione nella sua forma classica.- Una dimostrazione sotto forma di tabella può essere fatta inserendo nella prima colonna affermazioni e nella seconda gli argomenti che giustificano queste affermazioni. È spesso in questo modo che si procede in geometria.
- Nella sua forma classica, la prova matematica deve essere scritta con frasi grammaticalmente corrette e senza alcun simbolo. A livello accademico, questo è ciò che sarà richiesto.
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Aiutati con la dimostrazione in due colonne. Mettere il tuo ragionamento in forma di tabella ti permetterà di conoscere le linee principali della tua dimostrazione prima di scriverla in forma classica. Puoi usare la tabella per organizzare le tue idee e pensare alla domanda. Traccia una linea in verticale al centro del foglio, quindi scrivi i dati noti e tutte le tue affermazioni a sinistra. Giustificali a destra con l'aiuto delle definizioni e dei teoremi corretti.- Ecco un esempio
- Gli angoli A e B sono adiacenti. Dato dalla dichiarazione.
- L'angolo ABC è un angolo piatto. Definizione dell'angolo piatto.
- L'angolo ABC misura 180 °. Definizione di una linea retta
- Angolo A + Angolo B = Angolo ABC. Proprietà della somma degli angoli.
- Angolo A + Angolo B = 180 °. Sostituzione con un valore.
- Gli angoli A e B sono angoli aggiuntivi. Definizione di angoli aggiuntivi
- C.Q.F.D.
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Passa dalla tabella al ragionamento standard. Usa le tue due colonne per scrivere la dimostrazione come un paragrafo scritto che non dovrebbe avere troppi simboli o abbreviazioni.- Ad esempio: A e B sono angoli adiacenti. Per ipotesi, gli angoli A e B sono aggiuntivi. Poiché sono aggiuntivi e adiacenti, i lati degli angoli A e B formano una linea retta. La definizione di una linea retta implica che delimita un angolo di 180 °. Sulla base dei postulati relativi alle somme degli angoli, possiamo dire che l'aggiunta degli angoli A e B ci dà la linea ABC. La somma degli angoli A e B è ben uguale a 180 °, quindi sono angoli aggiuntivi. C.Q.F.D.
Parte 3 Scrivi una dimostrazione
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Acquisisci familiarità con il vocabolario. Ti renderai presto conto che certi giri di frasi tornano senza sosta nelle dimostrazioni. Devi imparare a conoscerli e usarli saggiamente per scrivere tu stesso le tue dimostrazioni.- Le formule del tipo "se A è vera, allora B è vera" significano che devi dimostrare che ogni volta che A è vera, anche B è necessariamente vera.
- "A è vero se e solo se B è vero" significa che devi dimostrare che B e A sono veri e falsi allo stesso tempo. Quindi mostra che "se A è vero, allora B è vero" e anche che "se A è falso, allora B è falso".
- "A è vero solo se B è vero" è un'altra formulazione da dire "se A è vero, allora B è vero". È un po 'meno comune, ma devi comunque conoscerlo nel caso lo incontri.
- Quando scrivi la tua dimostrazione, usa il "noi" anziché "on".
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Elencare i dati noti. Quando si progetta una dimostrazione, il primo compito è identificare ed elencare tutte le informazioni fornite dall'istruzione. Ciò ti consente di fare il punto su ciò che sai e su ciò che resta da fare per arrivare alla prova matematica. Rivedi attentamente il tuo problema e annota tutto ciò che ritieni utile.- Prendi un esempio: mostra che due angoli adiacenti (A e B) sono aggiuntivi.
- Cosa viene dato: gli angoli A e B sono adiacenti.
- Cosa provare: gli angoli A e B sono aggiuntivi.
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Definire le variabili. Una volta che hai di fronte tutti i dati noti, devi dare la definizione di ogni variabile. Per chiarire le cose al tuo lettore, scrivi queste definizioni come antipasto. Se non lo fai, potresti perdere molto rapidamente il tuo ragionamento.- Non utilizzare mai variabili che non sono state precedentemente definite.
- Nel nostro esempio, le variabili saranno le misure degli angoli A e B.
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Procedere al contrario. Molto spesso, è molto più facile portare il problema nella direzione opposta. Inizia dalla fine, vale a dire dall'affermazione che stai cercando di dimostrare, e prova a pensare alla sequenza di passaggi logici che possono riportarti all'inizio del ragionamento.- Lavora sul primo e sull'ultimo passaggio per vedere se potresti renderli simili. Questo si basa sui dati noti, sulle definizioni che hai appreso e su dimostrazioni simili che hai già sperimentato.
- Chiediti ad ogni passo. "Perché è così? E "Ci sono casi in cui questo potrebbe essere falso? Sono domande molto rilevanti da porre durante la tua progressione logica.
- Non dimenticare di mettere tutti i passaggi nell'ordine corretto durante la stesura finale.
- Facciamo il nostro esempio: se A e B sono angoli aggiuntivi, significa che la somma delle loro misure è di 180 °. La combinazione di questi due angoli costituisce la linea ABC. Sai che formano una linea retta definendo gli angoli adiacenti. Poiché anche un segmento di linea corrisponde a un angolo piatto, la misurazione è di 180 °. Poiché l'angolo dalla linea è di 180 °, puoi sostituire per mostrare che se li aggiungiamo, anche gli angoli A e B sono 180 °.
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Ordina i tuoi passaggi logicamente. Inizia dall'inizio e procedi verso la conclusione. Sebbene sia molto pratico pensare all'indietro quando si cerca la soluzione, al momento di scrivere la dimostrazione, è necessario fare attenzione a rimettere tutto nel giusto ordine, con la conclusione alla fine. Il tuo ragionamento deve avvenire passo dopo passo, con giustificazione per ogni affermazione, in modo che il lettore non abbia l'opportunità in qualsiasi momento di mettere in discussione la validità della tua dimostrazione.- Inizia con le ipotesi su cui stai lavorando.
- Usa passaggi semplici e ovvi in modo che il lettore non si chieda mai come sei passato da un passaggio all'altro.
- Non esitate a fare diverse bozze della tua dimostrazione. Fai tutti i test di cui hai bisogno per riorganizzare i passaggi fino a ottenere l'ordine più logico possibile.
- A partire dall'inizio, questo darà l'esempio di seguito.
- Gli angoli A e B sono adiacenti.
- L'angolo ABC è piatto.
- L'angolo ABC misura 180 °.
- Angolo A + Angolo B = Angolo ABC.
- Angolo A + Angolo B = 180 °.
- Gli angoli A e B sono quindi aggiuntivi.
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Evitare frecce e abbreviazioni. Quando fai il piano di bozza, hai tutto il diritto di usare i simboli e di non scrivere tutto per intero. D'altra parte, nella versione definitiva, è probabile che questi elementi danneggino la comprensione del tuo lettore, quindi è meglio non usarli e sostituirli con parole di connessione come "così" o "di conseguenza".- L'unica eccezione notevole a questa regola è l'uso dell'acronimo C.Q.F.D (per "cosa dimostrare") alla fine dell'anno.
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Giustificare. Tutte le tue affermazioni devono essere supportate da definizioni, teoremi o leggi matematiche. Solo allora la tua dimostrazione sarà valida. Nessun argomento è valido se non è accompagnato da una definizione. Per vedere cosa può dare concretamente ciò, non esitare a fare riferimento a dimostrazioni vicine a quella su cui stai lavorando e che serviranno da esempio.- Metti alla prova la tua dimostrazione cercando di applicarla a un caso particolare per il quale sarà normalmente falsa. Se non è falso che questo caso particolare debba essere escluso dalle condizioni della dimostrazione, è necessario riconsiderare il proprio ragionamento.
- In geometria, le dimostrazioni sono molto spesso presentate come una tabella a due colonne, con una colonna per l'argomento e una per la giustificazione. Tuttavia, la solita forma della dimostrazione classica è un paragrafo scritto con frasi complete.
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Concludere da C.Q.F.D. L'ultima frase della dimostrazione dovrebbe essere ciò che stavi cercando di mostrare. Dopo averlo scritto, termina con l'acronimo C.Q.F.D o crea un quadratino colorato per indicare che il tuo lavoro è completo.- La formula dal latino Q.E.D. (quod erat dimostrandum), che significa anche "cosa dimostrare".
- Se non sei sicuro che la tua dimostrazione sia convincente, prova a scrivere qualche altra frase per spiegare come sei arrivato a questa conclusione e perché ha senso per te.