Contenuto
- stadi
- Per cominciare
- Metodo 1 Procedere con tentativi ed errori
- Metodo 2 Procedere per decomposizione
- Metodo 3 Il "triplo gioco"
- Metodo 4 Differenza di due quadrati
- Metodo 5 Usando la formula quadratica
- Metodo 6 Usare una calcolatrice
Un polinomio è composto da una variabile (x) elevata a un certo potere chiamato grado del polinomio, e diversi altri termini di gradi inferiori e / o diverse altre costanti. Fattorizzare un polinomio di secondo grado (chiamato anche "equazione quadratica") significa ridurre l'espressione iniziale a un prodotto di espressioni di gradi più piccoli che possono quindi essere moltiplicati l'uno dall'altro. Questa conoscenza fa parte del corso di scuola superiore e altro, quindi questo articolo può essere difficile da capire se non hai ancora il livello richiesto di matematica.
stadi
Per cominciare
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Scrivi la tua espressione. La forma standard di un'equazione di secondo grado è:ax + bx + c = 0
Inizia organizzando i termini della tua equazione secondo l'ordine dei poteri, dal più grande al più piccolo, come nella forma standard. Prendi ad esempio:6 + 6x + 13x = 0
Riorganizzeremo questa espressione per facilitare il lavoro semplicemente spostando i termini:6x + 13x + 6 = 0. -
Trova il modulo fattorizzato utilizzando uno dei metodi spiegati di seguito. La fattorizzazione darà due espressioni più brevi che daranno il polinomio iniziale se li moltiplichiamo l'uno per l'altro:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
In questo esempio, (2x +3) e (3x + 2) sono fattori dell'espressione iniziale, 6x + 13x + 6. -
Controlla il tuo lavoro! Moltiplica i fattori che hai identificato. Quindi unisci i termini simili e avrai finito. Inizia con:(2x + 3) (3x + 2)
Iniziamo a testare questa espressione, moltiplicando i termini delle due espressioni per ottenere:6x + 4x + 9x + 6
Da lì, possiamo aggiungere 4x e 9x perché sono termini dello stesso grado. Sappiamo quindi che i nostri fattori sono corretti perché cadiamo bene sull'espressione della partenza:6x + 13x + 6.
Metodo 1 Procedere con tentativi ed errori
Se hai a che fare con un polinomio abbastanza semplice, dovresti riuscire a trovare la sua decomposizione come prodotto fattore a colpo d'occhio. Ad esempio, molti matematici sono in grado di vedere quell'espressione 4x + 4x + 1 fornisce i fattori (2x + 1) e (2x + 1) per abitudine e con esperienza (ovviamente, questo non è così semplice nel caso di polinomi complessi). Per questo esempio, prendiamo un'espressione meno comune:
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Fai un elenco di fattori di coefficiente ha e c. Utilizzando l'espressione del modulo ax + bx + c = 0, identificare i coefficienti ha e c ed elenca i fattori corrispondenti. Per: 3x + 2x - 8, questo dà:a = 3 e ha solo una coppia di fattori: 1 * 3 c = -8 e quattro coppie di fattori: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 e -1 * 8 .. -
Scrivi sul tuo foglio due coppie di parentesi con spazio per scrivere al loro interno. Inserirai le costanti per ogni espressione nello spazio fornito:(x) (x). -
Prima della x, scrivi una coppia di possibili fattori per il coefficiente ha. Per il coefficiente ha nel nostro esempio, 3x, esiste una sola possibilità:(3x) (1x). -
Quindi riempire i due spazi vuoti rimanenti con una coppia di fattori per il coefficiente c. Prendi ad esempio 8 e 1. Scrivili:(3x8) (X1). -
Decidi ora il segno (più o meno) da posizionare tra la x e il numero che hai inserito dopo di lui. Secondo il segno dell'espressione originale, è possibile trovare quali dovrebbero essere i segni delle costanti. chiamata h e k le costanti dei nostri fattori:Se ax + bx + c allora (x + h) (x + k) Se ax - bx - c oppure ax + bx - c allora (x - h) (x + k) Se ax - bx + c allora (x - h) (x - k)
Nel nostro esempio, 3x + 2x - 8, i segni devono essere posizionati nel modo seguente: (x - h) (x + k), che ci dà i seguenti due fattori:(3x + 8) e (x - 1). -
Controlla il modulo fattorizzato riqualificandolo. Un primo test rapido è verificare se il termine medio ha il valore giusto. Se x non è buono, allora potresti aver scelto la coppia di fattori sbagliata per il coefficiente c. Controlliamo i nostri risultati:(3x + 8) (x - 1)
Effettuando una moltiplicazione, otteniamo:3x - 3x + 8x - 8
Aggiungendo i termini simili (-3x) e (8x) per semplificare questa espressione, otteniamo:3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Ora sappiamo che probabilmente abbiamo identificato i fattori sbagliati:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8. -
Se necessario, scambia la tua scelta di fattori. Nel nostro esempio, proviamo 2 e 4 anziché 1 e 8:(3x + 2) (x - 4)
Ora il nostro coefficiente c è -8, ma le moltiplicazioni (3x * -4) e (2 * x) danno -12x e 2x, che inoltre non danno sempre il valore iniziale di B, ovvero + 2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x. -
Se necessario, invertire l'ordine. Invertiamo nel nostro esempio il posto di 2 e 4:(3x + 4) (x - 2)
Ora il coefficiente c è sempre buono, ma i coefficienti dei termini in x valgono questo tempo -6x e 4x. Una volta aggiunto, questo dà:-6x + 4x = -2x 2x ≠ -2x Siamo molto vicini al valore iniziale di 2x che cerchiamo di trovare, ma il segno non è buono. -
Controllare di nuovo i segni se necessario. Manterremo ora lo stesso ordine, ma scambieremo i segni:(3x - 4) (x + 2)
Il coefficiente prima c è sempre buono e i termini in x ora valgono (6x) e (-4x). perché:6x - 4x = 2x 2x = 2x Quindi otteniamo il 2x che avevamo originariamente. Quindi probabilmente abbiamo trovato i giusti fattori.
Metodo 2 Procedere per decomposizione
Questo metodo ci permetterà di identificare tutti i possibili fattori per ottenere i coefficienti ha e c e li usano per identificare quali fattori sono quelli giusti. Se i numeri sono molto grandi o gli altri metodi di prova ed errore sembrano troppo lunghi, è possibile utilizzare questo metodo. Prendi il seguente esempio:
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Moltiplica il coefficiente ha dal coefficiente c. Nel nostro esempio, ha è uguale a 6 e c è anche uguale a 6.6 * 6 = 36. -
Trova il coefficiente B fattorizzando e quindi testando i fattori ottenuti. Stiamo cercando due numeri che sono fattori del prodotto ha * c che abbiamo identificato e la cui somma vale il valore del coefficiente "b" (13).4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
Introduci i due numeri che hai appena ottenuto nella tua equazione; posizionali davanti alla x, in modo che la loro somma sia uguale al coefficiente B. Prendiamo le lettere k e h per rappresentare i due numeri ottenuti, 4 e 9:ax + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6. -
Fattorizza il tuo polinomio raggruppando. Organizza l'equazione in modo da trovare il più grande fattore comune dei primi due termini e il più grande fattore comune degli ultimi due termini. Dovresti quindi ottenere una somma di due forme fattorizzate identiche. Somma i due coefficienti insieme e mettili tra parentesi davanti alla tua forma fattorizzata; ottieni quindi due fattori:6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2).
Metodo 3 Il "triplo gioco"
Questo metodo è molto simile al precedente. Ciò consiste nell'esaminare i possibili fattori per i prodotti dei coefficienti ha e c, quindi usali per trovare il valore di B. Prendi ad esempio la seguente equazione:
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Moltiplica il coefficiente ha dal coefficiente c. Come con il metodo di decomposizione, questo ci aiuterà a identificare potenziali candidati per il coefficiente B. Nel nostro esempio, ha è uguale a 8 e c vale 2.8 * 2 = 16. -
Trova i due numeri il cui prodotto è il numero appena trovato in precedenza (16) e la cui somma fornisce il coefficiente "b". Questo passaggio è identico a quello del metodo di decomposizione, ovvero testiamo e rifiutiamo i candidati per le costanti. Il prodotto dei coefficienti ha e c è uguale a 16 e il coefficiente c è uguale a 10:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
Prendi questi due numeri e sostituiscili nella formula "triple play". Prendi i due numeri dal passaggio precedente: chiamiamoli h e k - e introducili nella seguente espressione:((ax + h) (ax + k)) / a
Quindi otteniamo:((8x + 8) (8x + 2)) / 8. -
Trova quale delle espressioni tra parentesi nel numeratore è divisibile per il coefficiente ha. In questo esempio, verifichiamo se (8x + 8) o (8x + 2) possono essere divisi per 8. (8x + 8) è divisibile per 8, quindi divideremo questa espressione per ha e lascia l'altra espressione così com'è.(8x + 8) = 8 (x + 1)
L'espressione che conserviamo qui è quella che rimane dopo la divisione per coefficiente ha : (x + 1). -
Trova - se esiste - un fattore comune più ampio in entrambe le parentesi. Nel nostro esempio, la seconda espressione ha un fattore comune più grande di 2, poiché 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combina questa risposta con l'espressione che hai trovato nel passaggio precedente. Hai così trovato i due fattori del tuo polinomio.2 (x + 1) (4x + 1).
Metodo 4 Differenza di due quadrati
Alcuni coefficienti dei polinomi possono essere identificati come "quadrati", vale a dire come prodotti della moltiplicazione di due numeri. Identificando questi quadrati, puoi fattorizzare alcuni polinomi molto più velocemente. Prendi ad esempio l'equazione:
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Inizia fattorizzando tutto in un fattore comune più grande, se possibile. Nel nostro esempio, vediamo 27 e 12, entrambi divisibili per 3, quindi possiamo "scoppiare" l'espressione iniziale come segue:27x - 12 = 3 (9x - 4). -
Identifica se i coefficienti della tua equazione sono numeri quadrati. Per utilizzare questo metodo, dovresti essere in grado di trovare radici quadrate per i tuoi coefficienti (nota che non consideriamo i segni negativi - poiché trattiamo i quadrati, potrebbero essere il prodotto di due numeri positivi o negativo)9x = 3x * 3x e 4 = 2 * 2. -
Usando le radici quadrate che hai trovato, scrivi i tuoi fattori. Prendi i valori di ha e c precedentemente trovato - ha = 9 e c = 4 - prima di trovare la radice quadrata - √ha = 3 e √c = 2. Questi saranno i coefficienti delle nostre espressioni fattorizzate:27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Metodo 5 Usando la formula quadratica
Se tutti i metodi precedenti non sono riusciti e non riesci a trovare i fattori corretti per la tua equazione, utilizza la formula quadratica. Prendi il seguente esempio:
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Prendi i valori dei coefficienti "a", "b" e "c" e sostituiscili nella seguente formula quadratica:x = -b ± √ (b - 4ac)
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2a
Otteniamo quindi l'espressione:x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2. -
Risolvi l'equazione per trovare x. Come puoi vedere sopra, dovresti ottenere due valori di x:
x = -2 + √ (3) o x = -2 - √ (3). -
Usa il valore di x per trovare i fattori. Immettere i valori di x ottenuti precedentemente come costanti delle due espressioni polinomiali. Questi saranno i tuoi fattori. chiamata h e k i valori di x e scrivere le due forme fattorizzate:(x - h) (x - k)
In questo caso, il risultato finale è:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).
Metodo 6 Usare una calcolatrice
Se ti è permesso usare un calcolatore grafico, tieni presente che questo faciliterà notevolmente il tuo compito, specialmente durante gli esami. Queste istruzioni sono valide solo per i calcolatori grafici del marchio Texas Instrument. Prendi ad esempio la seguente equazione:
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Inserisci la tua equazione nella calcolatrice. Dovrai usare l '"equazione del risolutore", vale a dire lo schermo. -
Crea una rappresentazione grafica della tua equazione sulla calcolatrice. Dopo aver inserito l'equazione, premi - dovresti quindi visualizzare la rappresentazione grafica della curva (più precisamente, otterrai un "arco" perché stai lavorando su polinomi). -
Trova i punti di intersezione dell'arco con l'asse x (x). Poiché le equazioni polinomiali sono tradizionalmente scritte nella forma: ax + bx + c = 0, questi sono i due valori di x per i quali l'espressione è uguale a zero:(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2. - Se non riesci a leggere i valori di dove la curva attraversa l'asse x, premi quindi. Premere o selezionare "zero". Spostare il cursore a sinistra di una delle intersezioni e premere. Quindi spostare il cursore a destra di questo incrocio e premere di nuovo. Quindi, spostare il cursore il più vicino possibile all'intersezione e premere di nuovo. Il calcolatore troverà il valore di x. Fai la stessa cosa dopo per l'altro incrocio.
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Infine, introdurre i valori x ottenuti nel passaggio precedente in un'espressione a due fattori. Se chiamiamo h e k i nostri due valori di x, utilizzeremo quindi la seguente espressione:(x - h) (x - k) = 0
E così, otterremo i seguenti due fattori:(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
- Una matita
- carta
- Un'equazione di secondo grado (o equazione quadratica)
- Una calcolatrice grafica (opzionale)