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Come fattorizzare un trinomio

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Autore: Monica Porter
Data Della Creazione: 16 Marzo 2021
Data Di Aggiornamento: 1 Luglio 2024
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Scomposizione del trinomio notevole
Video: Scomposizione del trinomio notevole

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In questo articolo: Imparare a fattorizzare x2 + bx + Imparare a considerare i trinomi più complicati Alcuni casi speciali di fattorizzazione trinomiale6 Riferimenti

Come indica il nome, un trinomio è un'espressione matematica che assume la forma di una somma di tre termini. Molto spesso, iniziamo a studiare i trinomi di secondo grado che quindi sottoscrivono: ax + bx + c. Esistono diversi modi per fattorizzare un trinomio di secondo grado. Con la pratica, ci arriverai senza difficoltà. I metodi che vedremo non si applicano ai trinomi di grado superiore (con x o x). Tuttavia, lavorando questi ultimi trinomi, si può ricorrere ai trinomi di secondo grado. Vediamo tutto questo in dettaglio.


stadi

Parte 1 Imparare a fattorizzare x + bx + c



  1. Utilizzare il metodo SIDS. Potresti saperlo, ma ricordiamo di cosa si tratta. Quando devi sviluppare un prodotto di binomi - (x + 2) (x + 4), ad esempio - devi sommare i prodotti dei diversi termini nell'ordine "Primo, Esterno, Interno, Ultimo". Nel dettaglio, questo dà:
    • si moltiplicano prima termini tra loro:x+2)(x+4) = x + __
    • moltiplica i termini esterno tra loro: (x2) (x +4) = x + 4x + __
    • moltiplica i termini interno tra loro: (x +2)(x+4) = x + 4x + 2x + __
    • si moltiplicano ultimo termini tra di loro: (x +2) (X +4) = x + 4x + 2x + 8
    • Termina semplificando: x + 4x + 2x + 8 = x + 6x + 8




  2. Comprendi cos'è la fattorizzazione. Quando sviluppi il prodotto di due coppie, ottieni un trinomio del modulo: hax +Bx +c, a, bec sono numeri reali. Quando eseguiamo l'operazione inversa, passiamo dal prodotto trinomiale a quello binomiale, diciamo che noi factorises.
    • Per motivi di chiarezza, i termini di un trinomio devono essere classificati in ordine decrescente di potenza. Quindi, se ti diamo: 3x - 10 + x, devi riscrivere in ordine: x + 3x - 10.
    • Il più grande esponente è 2 (x), parliamo del trinomio di "secondo grado".



  3. All'inizio della fattorizzazione, mettiamo la forma del prodotto di binomi. Scrivi: (__ __)(__ __). Riempiremo gradualmente gli spazi lasciati liberi, così come i segni.
    • Per il momento non inseriamo alcun segno (+ o -) tra i due termini dei binomi.




  4. Devi iniziare trovando i primi termini di ogni coppia. Se il tuo trinomio inizia con x, i primi due termini delle coppie saranno necessariamente x e xpoiché x volte x = x.
    • Il nostro trinomio iniziale è: x + 3x - 10 e poiché non esiste un coefficiente in x, possiamo immediatamente scrivere:
    • (x __) (x __)
    • Vedremo in seguito come si procede quando il coefficiente di x è diverso da 1, come 6x o -x. Per il momento, ci rimane questo semplice caso.



  5. Prova a indovinare quali saranno gli ultimi termini delle coppie. Rivedi come, con il metodo PEID, sono stati sviluppati gli ultimi termini dei binomi. Ora dobbiamo fare il contrario. Abbiamo quindi moltiplicato gli ultimi due termini per ottenere l'ultimo termine ("costante") del trinomio. Quindi, dovrai trovare due numeri che, moltiplicati tra loro, ti daranno la costante del trinomio.
    • Nel nostro esempio: x + 3x - 10, la costante è -10.
    • Quali sono i fattori di -10? Quali sono i due numeri che, moltiplicati tra loro, ti daranno -10?
    • Ecco tutti i casi possibili: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 e 2 x -5. Scrivi queste combinazioni da qualche parte da ricordare.
    • Per ora, il tuo prodotto binomiale rimane invariato. Sembra sempre: (x __) (x __).



  6. Prova le diverse combinazioni. Dalla costante, sei riuscito a identificare alcune combinazioni di fattori, che si deve lavorare (se il trinomio è riducibile). A questo punto, non esistono altre soluzioni se non quella di testare ciascuna combinazione per vedere se una di esse soddisfa il trinomio. Per esempio:
    • Nel nostro esempio, la somma del prodotto "Esterno" e del prodotto "Interno" deve essere 3x (presa da x + 3x - 1)
    • Prendi la combinazione di -1 e 10: (x - 1) (x + 10). La somma del prodotto "Esterno" e del prodotto "Interno" indica: 10x - x = 9x. Non funziona!
    • Prendi la combinazione 1 e -10: (x + 1) (x - 10). La somma del prodotto "Esterno" e del prodotto "Interno" fornisce: -10x + x = -9x. Non va ancora! Noterai che questo ultimo controllo è stato inutile. In effetti, la coppia (-1,10) dà 9x e la coppia (1, -10) dà -9x. Quindi prova solo una coppia.
    • Prendi la combinazione -2 e 5: (x - 2) (x + 5). La somma del prodotto "Esterno" e del prodotto "Interno" indica: 5x - 2x = 3x. Eureka! La risposta è: (x - 2) (x + 5).
    • Nel caso di trinomi semplici come questo (a partire da x), possiamo fare più brevi. Basta aggiungere i due potenziali fattori, aggiungere "x" alla fine e vedrai subito se è la giusta combinazione. Lì fai: -2 + 5 → 3x. Se x è affiancato da un coefficiente, il metodo non funziona, motivo per cui è bene ricordare il metodo dettagliato.

Parte 2 Imparare a considerare i trinomi più complicati



  1. Fattorizza il tuo trinomio in un trinomio più semplice. Supponiamo di dover scomporre il seguente trinomio: 3x + 9x - 30. Prova a vedere se non c'è un divisore comune a tutti e tre i termini. Prendiamo quindi il più grande (se ce ne sono diversi), da cui il suo nome di "Most Great Common Divisor" (o PGCD). Nel nostro trinomio saranno 3. Vediamolo in dettaglio:
    • 3x = (3) (x)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3)(-10)
    • Pertanto, 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x - 10). Pertanto, è facile fattorizzare la seconda parentesi secondo il metodo sopra descritto. Otteniamo quanto segue: (3) (x-2) (x + 5). Non dobbiamo dimenticare il 3 messo in conto.



  2. A volte non possiamo fattorizzare numeri reali, ma quantità con incognite. Quindi possiamo considerare "x", "y" o "xy". Ecco alcuni esempi:
    • 2xy + 14xy + 24y = (2y)(x + 7x + 12)
    • x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)
    • -x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)
    • Quindi, ovviamente, considera il nuovo trinomio come abbiamo visto in precedenza. Fai un controllo per vedere se non ci sono errori. Fai pratica con gli esercizi suggeriti alla fine di questo articolo.



  3. Prova a fattorizzare i trinomi con una x affiancata da un coefficiente. Alcuni trinomi di secondo grado sono più difficili da fattorizzare, l'immagine di 3x + 10x + 8. Vedremo come procediamo, quindi cosa puoi allenare con gli esercizi proposti alla fine dell'articolo. Ecco come operiamo:
    • Chiedi il prodotto delle coppie: (__ __)(__ __)
    • Ognuno dei due termini "First" deve avere una "x" e il prodotto di entrambi deve essere 3x. C'è solo una possibilità: (3x __) (x __), 3 è un numero primo.
    • Trova i fattori di 8. Esistono due possibilità: 1 x 8 o 2 x 4.
    • Prendi queste combinazioni per trovare le costanti delle coppie. Punto importante: poiché la "x" sconosciuta ha coefficienti diversi, l'ordine della combinazione è importante. Devi trovare la fine del mezzo, qui, 10x. Ecco le diverse combinazioni:
    • (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x no!
    • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x no!
    • (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x no!
    • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10 volte sì! Questa è la giusta fattorizzazione.



  4. In presenza di uno sconosciuto con un potere maggiore di 2, si può creare uno sconosciuto di sostituzione. Un giorno dovrai certamente fattorizzare un trinomio del quarto (x) o del quinto grado (x). L'obiettivo è riportare questo trinomio a qualcosa di noto, vale a dire, un trinomio di secondo grado per fattorizzare senza problemi. Per esempio:
    • x + 13x + 36x
    • = (x) (x + 13x + 36)
    • Inventa un nuovo sconosciuto che semplificherà il problema. Metteremo qui che Y = x. Mettiamo una Y maiuscola per ricordare che è un surrogato. Il trinomio diventa quindi:
    • = (x) (Y + 13Y + 36): fattorizziamo come nella parte 1.
    • = (x) (Y + 9) (Y + 4). È tempo di sostituire la sostituzione sconosciuta con il suo vero valore:
    • = (x) (x + 9) (x + 4)
    • = (x) (x + 3) (x - 3) (x + 2) (x - 2)

Parte 3 Alcuni casi speciali di trinomializzazioni



  1. Cerca possibili numeri primi. Verifica se la costante e / o il coefficiente del primo o terzo termine non sarebbero numeri primi. Ricorda che si dice che un numero è "primo" quando è divisibile solo per 1 o per se stesso. A partire da questa definizione, se troviamo un numero primo nei luoghi sopra indicati, il trinomio può solo fattorizzare nella forma di un singolo prodotto di binomi.
    • Ad esempio, in x + 6x + 5, la costante 5 è un numero primo, quindi il prodotto binomiale avrà la forma: (__ 5) (__ 1)
    • In 3x + 10x + 8, il coefficiente 3 è un numero primo, quindi il prodotto dei binomi sarà nella forma: (3x __) (x __).
    • Infine, in 3x + 4x + 1, 3 e 1 essendo numeri primi, l'unica soluzione possibile è: (3x + 1) (x + 1). Tuttavia, controlla sempre la combinazione. Succede che alcuni trinomi non possono essere presi in considerazione. Pertanto, 3x + 100x + 1 non possono essere presi in considerazione (diciamo che è "irriducibile"). Con 3 e 1, non otterrai mai 100.



  2. Bisogna sempre pensare al caso di un trinomio che sarebbe lo sviluppo di una straordinaria identità, un quadrato perfetto per prendere solo questo esempio. Per quadrato perfetto intendiamo il prodotto di due coppie perfettamente identiche: (x + 1) (x + 1) che scriviamo (x + 1). Ecco alcuni di questi quadrati perfetti:
    • x + 2x + 1 = (x + 1) e x - 2x + 1 = (x - 1)
    • x + 4x + 4 = (x + 2) e x - 4x + 4 = (x - 2)
    • x + 6x + 9 = (x + 3) e x - 6x + 9 = (x - 3)
    • Un trinomio hax + Bx + c è lo sviluppo di un quadrato perfetto se ha e c sono essi stessi quadrati positivi (come 1, 4, 9, 16, 25 ...) e se B (positivo o negativo) è uguale a 2 (√a x √c) = 2 √ac.



  3. Vedi se è possibile fattorizzare. In effetti, iI sono trinomi che non possono essere presi in considerazione. Se fai fatica a fattorizzare un trinomio della seconda forma canonica ax + bx + c, perché non ci sono radici ovvie, devi usare il metodo discriminante (Δ). Quest'ultimo è calcolato come segue: Δ = √b - 4ac. Se Δ <0, il trinomio non può essere considerato.
    • Per i trinomi che non sono di secondo grado, utilizzare il criterio di Eisenstein spiegato nella sezione "Suggerimenti".